Jumat, 27 Februari 2009
Jumat, 13 Februari 2009
Trigonometri
PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1
= 1 - 2 sin2a
tg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1
= 1 - 2 sin2 ½na
tg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°
cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°
tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b ) = tg a + tg b
1 - tg2a
SELISIH DUA SUDUT (a - b)
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b ) = tg a - tg b
1 + tg2a
SUDUT RANGKAP
sin 2a = 2 sin a cos a
cos 2a = cos2a - sin2 a
= 2 cos2a - 1 = 1 - 2 sin2atg 2a = 2 tg 2a
1 - tg2a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos2a = ½(1 + cos 2a)
sin2a = ½ (1 - cos 2a)
Secara umum :
sin na = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos2 ½na - 1
= 2 cos2 ½na - 1= 1 - 2 sin2 ½natg na = 2 tg ½na
1 - tg2 ½na
JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA
BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b cos a - b
2 2
sin a - sin b = 2 cos a + b sin a - b
2 2
cos a + cos b = 2 cos a + b cos a - b
2 2
cos a + cos b = - 2 sin a + b sin a - b
2 2
BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA
Bentuk a cos x + b sin x
Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)
a cos x + b sin x = K cos (x-a)
dengan :
K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ?
Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut
| | I | II | III | IV |
| a | + | - | - | + |
| b | + | + | - | - |
keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x
PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
x2 = (180° - a) + n.360°
cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°
tg x = tg a Þ x = a + n.180° (n = bilangan bulat)
II. a cos x + b sin x = c
a cos x + b sin x = C
K cos (x-a) = C
cos (x-a) = C/K
syarat persamaan ini dapat diselesaikan
-1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)
misalkan C/K = cos b
cos (x - a) = cos b
(x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°
Jumat, 06 Februari 2009
AlatOptik
Mata
Salah satu alat optik alamiah yang merupakan salah satu anugerah dari Sang Pencipta adalah mata. Di dalam mata terdapat lensa kristalin yang terbuat dari bahan bening, berserat, dan kenyal. Lensa kristalin atau lensa mata berfungsi mengatur pembiasan yang disebabkan oleh cairan di depan lensa. Cairan ini dinamakan aqueous humor. Intensitas cahaya yang masuk ke mata diatur oleh pupil.
Salah satu alat optik alamiah yang merupakan salah satu anugerah dari Sang Pencipta adalah mata. Di dalam mata terdapat lensa kristalin yang terbuat dari bahan bening, berserat, dan kenyal. Lensa kristalin atau lensa mata berfungsi mengatur pembiasan yang disebabkan oleh cairan di depan lensa. Cairan ini dinamakan aqueous humor. Intensitas cahaya yang masuk ke mata diatur oleh pupil.
Bagian-bagian mata
Cahaya yang masuk ke mata difokuskan oleh lensa mata ke bagian belakang mata yang disebut retina. Bentuk bayangan benda yang jatuh di retina seolah-olah direkam dan disampaikan ke otak melalui saraf optik. Bayangan inilah yang sampai ke otak dan memberikan kesan melihat benda kepada mata. Jadi, mata dapat melihat objek dengan jelas apabila bayangan benda (bayangan nyata) terbentuk tepat di retina.
Lensa mata merupakan lensa yang kenyal dan fleksibel yang dapat menyesuaikan dengan objek yang dilihat. Karena bayangan benda harus selalu difokuskan tepat di retina, lensa mata selalu berubah-ubah untuk menyesuaikan objek yang dilihat. Kemampuan mata untuk menyesuaikan diri terhadap objek yang dilihat dinamakan daya akomodasi mata.
daya akomodasi mata
Saat mata melihat objek yang dekat, lensa mata akan berakomodasi menjadi lebih cembung agar bayangan yang terbentuk jatuh tepat di retina. Sebaliknya, saat melihat objek yang jauh, lensa mata akan menjadi lebih pipih untuk memfokuskan bayangan tepat di retina.
Titik terdekat yang mampu dilihat oleh mata dengan jelas disebut titik dekat mata (punctum proximum/PP). Pada saat melihat benda yang berada di titik dekatnya, mata dikatakan berakomodasi maksimum. Titik dekat mata disebut juga dengan jarak baca normal karena jarak yang lebih dekat dari jarak ini tidak nyaman digunakan untuk membaca dan mata akan terasa lelah. Jarak baca normal atau titik dekat mata adalah sekitar 25 cm.
Adapun, titik terjauh yang dapat dilihat oleh mata dengan jelas disebut titik jauh mata (punctum remotum/PR). Pada saat melihat benda yang berada di titik jauhnya, mata berada dalam kondisi tidak berakomodasi. Jarak titik jauh mata normal adalah di titik tak hingga (~).
Rabun Jauh dan Cara Memperbaikinya
Orang yang menderita rabun jauh atau miopi tidak mampu melihat dengan jelas objek yang jauh tapi tetap mampu melihat dengan jelas objek di titik dekatnya (pada jarak 25 cm). titik jauh mata orang yang menderita rabun jauh berada pada jarak tertentu (mata normal memiliki titik jauh tak berhingga).
Rabun jauh dapat diperbaiki dengan menggunakan lensa divergen yang bersifat menyebarkan (memencarkan) sinar. Lensa divergen atau lensa cekung atau lensa negatif dapat membantu lensa mata agar dapat memfokuskan bayangan tepat di retina.
miopi dikoreksi menggunakan lensa negatif
Jarak fokus lensa dan kuat lensa yang digunakan untuk memperbaiki mata yang mengalami rabun jauh dapat ditentukan berdasarkan persamaan lensa tipis dan rumus kuat lensa.
Rabun Dekat dan Cara Memperbaikinya
Orang yang menderita rabun dekat atau hipermetropi tidak mampu melihat dengan jelas objek yang terletak di titik dekatnya tapi tetap mampu melihat dengan jelas objek yang jauh (tak hingga). Titik dekat mata orang yang menderita rabun dekat lebih jauh dari jarak baca normal (PP > 25 cm).
Cacat mata hipermetropi dapat diperbaiki dengan menggunakan lensa konvergen yang bersifat mengumpulkan sinar. Lensa konvergen atau lensa cembung atau lensa positif dapat membantu lensa mata agar dapat memfokuskan bayangan tepat di retina.
hipermetropi dikoreksi menggunakan lensa positif
Jarak fokus lensa dan kuat lensa yang digunakan untuk memperbaiki mata yang mengalami hipermetropi dapat ditentukan berdasarkan persamaan lensa tipis dan rumus kuat lensa.
Kaca Pembesar
Kaca pembesar atau lup digunakan untuk melihat benda kecil yang tidak bisa dilihat dengan mata secara langsung. Lup menggunakan sebuah lensa cembung atau lensa positif untuk memperbesar objek menjadi bayangan sehingga dapat dilihat dengan jelas.
Lup dapat digunakan dengan mata berakomodasi maksimum untuk mendapatkan perbesaran bayangan yang diinginkan. Agar mata berakomodasi maksimum, bayangan yang terbentuk harus tepat berada di titik dekat mata (s’ = sn = jarak titik dekat mata).
Menggunakan lup dalam keadaan mata berakomodasi maksimum membuat mata menjadi cepat lelah. Agar mata relaks dan tidak cepat lelah, lup digunakan dalam keadaan mata tidak berakomodasi. Untuk mendapatkan perbesaran bayangan yang diinginkan dalam keadaan mata tidak berakomodasi, bayangan yang terbentuk harus berada sangat jauh di depan lensa (jarak tak hingga). dalam hal ini objek harus berada di titik fokus lensa (s = f).
Mikroskop
Perbesaran bayangan yang dihasilkan dengan menggunakan lup yang hanya menggunakan sebuah lensa cembung kurang maksimal dan terbatas. Untuk mendapatkan perbesaran yang lebih besar diperlukan susunan alat optik yang lebih baik. Perbesaran yang lebih besar dapat diperoleh dengan membuat susunan dua buah lensa cembung. Susunan alat optik ini dinamakan mikroskop yang dapat menghasilkan perbesaran sampai lebih dari 20 kali.
Sebuah mikroskop terdiri atas dua buah lensa cembung (lensa positif). lensa yang dekat dengan objek (benda) dinamakan lensa objektif, sedangkan lensa yang dekat mata dinamakan lensa okuler. Jarak fokus lensa okuler lebih besar daripada jarak fokus lensa objektif.
mikroskop dan bagian-bagiannya
pembentukan bayangan pada mikroskop
Objek yang ingin diamati diletakkan di depan lensa objektif di antara titik Fob dan 2Fob. Bayangan yang terbentuk oleh lensa objektif adalah I1 yang berada di belakang lensa objektif dan di depan lensa okuler. Bayangan ini bersifat nyata, terbalik, dan diperbesar. Bayangan I1 akan menjadi benda bagi lensa okuler dan terletak di depan lensa okuler antara pusat optik O dan titik fokus okuler Fok. Di sini lensa okuler akan berfungsi sebagai lup dan akan terbentuk bayangan akhir I2 di depan lensa okuler. Bayangan akhir I2 yang terbentuk bersifat maya, diperbesar, dan terbalik terhadap objek semula.
Perbesaran yang dihasilkan mikroskop adalah gabungan dari perbesaran lensa objektif dan perbesaran lensa okuler. Perbesaran lensa objektif mikroskop adalah
Adapun perbesaran lensa okuler mikroskop sama dengan perbesaran lup, yaitu sebagai berikut.
untuk mata berakomodasi maksimum
untuk mata tidak berakomodasi
Dimana Pok adalah perbesaran lensa okuler, sn adalah jarak titik dekat mata (untuk mata normal sn = 25 cm), dan fok adalah jarak fokus lensa okuler.
Perbesaran total mikroskop adalah hasil kali perbesaran lensa objektif dan perbesaran lensa okuler. Jadi,
P = Pob × Pok
Hal-hal penting yang perlu diketahui berkaitan dengan mikroskop:
(1) jarak antara lensa objektif dan lensa okuler disebut juga panjang tabung (d). panjang tabung sama dengan penjumlahan jarak bayangan yang dibentuk lensa objektif (s’ob) dengan jarak benda (bayangan pertama) ke lensa okuler (sok).
d = s’ob + sok
(2) menggunakan mikroskop dengan mata berakomodasi maksimum berarti letak bayangan akhir berada di titik dekat mata di depan lensa okuler. Jadi, dapat dituliskan
s’ok = −sn
(3) menggunakan mikroskop dengan mata tidak berakomodasi berarti jarak benda di depan lensa okuler (sok ) berada tepat di titik fokus lensa okuler (fok). Jadi, dapat dituliskan
sok = fok
Teropong Bintang
Bintang-bintang di langit yang letaknya sangat jauh tidak dapat dilihat secara langsung oleh mata. Teropong atau teleskop dapat digunakan untuk melihat bintang atau objek yang letaknya sangat jauh.
Teropong terdiri atas dua lensa cembung, sebagaimana mikroskop. Pada teropong jarak fokus lensa objektif lebih besar daripada jarak fokus lensa okuler (fob > fok). Teropong digunakan dengan mata tidak berakomodasi agar tidak cepat lelah karena teropong digunakan untuk mengamati bintang selama berjam-jam. Dengan mata tidak berakomodasi, bayangan lensa objektif harus terletak di titik fokus lensa okuler. Dengan demikian, panjang teropong (atau jarak antara kedua lensa) adalah
d = fob + fok
dimana fob adalah jarak fokus lensa objektif dan fok adalah jarak fokus lensa okuler.
Adapun perbesaran P yang dihasilkan oleh teropong adalah
Jumat, 09 Januari 2009
PEMUAIAN
Pengertian Pemuaian
Pemuaian adalah bertambahnya ukuran suatu benda karena pengaruh perubahan suhu atau bertambahnya ukuran suatu benda karena menerima kalor.
Pemuaian terjadi pada 3 zat yaitu pemuaian pada zat padat, pada zat cair, dan pada zat gas.
Pemuaian pada zat gas ada 3 jenis yaitu pemuaian panjang (untuk satu demensi), pemuaian luas (dua dimensi) dan pemuaian volume (untuk tiga dimensi). Sedangkan pada zat cair dan zat gas hanya terjadi pemuaian volume saja, khusus pada zat gas biasanya diambil nilai koofisien muai volumenya sama dengan 1/273.
Pemuaian panjang
adalah bertambahnya ukuran panjang suatu benda karena menerima kalor. Pada pemuaian panjang nilai lebar dan tebal sangat kecil dibandingkan dengan nilai panjang benda tersebut. Sehingga lebar dan tebal dianggap tidak ada. Contoh benda yang hanya mengalami pemuaian panjang saja adalah kawat kecil yang panjang sekali.
Pemuaian panjang suatu benda dipengaruhi oleh beberapa faktor yaitu panjang awal benda, koefisien muai panjang dan besar perubahan suhu. Koefisien muai panjang suatu benda sendiri dipengaruhi oleh jenis benda atau jenis bahan.
Secara matematis persamaan yang digunakan untuk menentukan pertambahan panjang benda setelah dipanaskan pada suhu tertentu adalah
Pemuaian adalah bertambahnya ukuran suatu benda karena pengaruh perubahan suhu atau bertambahnya ukuran suatu benda karena menerima kalor.
Pemuaian terjadi pada 3 zat yaitu pemuaian pada zat padat, pada zat cair, dan pada zat gas.
Pemuaian pada zat gas ada 3 jenis yaitu pemuaian panjang (untuk satu demensi), pemuaian luas (dua dimensi) dan pemuaian volume (untuk tiga dimensi). Sedangkan pada zat cair dan zat gas hanya terjadi pemuaian volume saja, khusus pada zat gas biasanya diambil nilai koofisien muai volumenya sama dengan 1/273.
Pemuaian panjang
adalah bertambahnya ukuran panjang suatu benda karena menerima kalor. Pada pemuaian panjang nilai lebar dan tebal sangat kecil dibandingkan dengan nilai panjang benda tersebut. Sehingga lebar dan tebal dianggap tidak ada. Contoh benda yang hanya mengalami pemuaian panjang saja adalah kawat kecil yang panjang sekali.
Pemuaian panjang suatu benda dipengaruhi oleh beberapa faktor yaitu panjang awal benda, koefisien muai panjang dan besar perubahan suhu. Koefisien muai panjang suatu benda sendiri dipengaruhi oleh jenis benda atau jenis bahan.
Secara matematis persamaan yang digunakan untuk menentukan pertambahan panjang benda setelah dipanaskan pada suhu tertentu adalah
Pengertian Pemuaian
Pemuaian adalah bertambahnya ukuran suatu benda karena pengaruh perubahan suhu atau bertambahnya ukuran suatu benda karena menerima kalor.
Pemuaian terjadi pada 3 zat yaitu pemuaian pada zat padat, pada zat cair, dan pada zat gas.
Pemuaian pada zat gas ada 3 jenis yaitu pemuaian panjang (untuk satu demensi), pemuaian luas (dua dimensi) dan pemuaian volume (untuk tiga dimensi). Sedangkan pada zat cair dan zat gas hanya terjadi pemuaian volume saja, khusus pada zat gas biasanya diambil nilai koofisien muai volumenya sama dengan 1/273.
Pemuaian panjang
adalah bertambahnya ukuran panjang suatu benda karena menerima kalor. Pada pemuaian panjang nilai lebar dan tebal sangat kecil dibandingkan dengan nilai panjang benda tersebut. Sehingga lebar dan tebal dianggap tidak ada. Contoh benda yang hanya mengalami pemuaian panjang saja adalah kawat kecil yang panjang sekali.
Pemuaian panjang suatu benda dipengaruhi oleh beberapa faktor yaitu panjang awal benda, koefisien muai panjang dan besar perubahan suhu. Koefisien muai panjang suatu benda sendiri dipengaruhi oleh jenis benda atau jenis bahan.
Secara matematis persamaan yang digunakan untuk menentukan pertambahan panjang benda setelah dipanaskan pada suhu tertentu adalah
Bila ingin menentukan panjang akhir setelah pemanasan maka digunakan persamaan sebagai berikut :
Yang perlu diperhatikan adalah didala rumus tersebut banyak sekali menggunakan lambang sehingga menyulitkan dalam menghapal. Disarankan untuk sering menggunakan rumus tersebut dalam mengerjakan soal dan tidak perlu dihapal.
Pemuaian luas
adalah pertambahan ukuran luas suatu benda karena menerima kalor. Pemuaian luas terjadi pada benda yang mempunyai ukuran panjang dan lebar, sedangkan tebalnya sangat kecil dan dianggap tidak ada. Contoh benda yang mempunyai pemuaian luas adalah lempeng besi yang lebar sekali dan tipis.
Seperti halnya pada pemuian luas faktor yang mempengaruhi pemuaian luas adalah luas awal, koefisien muai luas, dan perubahan suhu. Karena sebenarnya pemuaian luas itu merupakan pemuian panjang yang ditinjau dari dua dimensi maka koefisien muai luas besarnya sama dengan 2 kali koefisien muai panjang. Pada perguruan tinggi nanti akan dibahas bagaimana perumusan sehingga diperoleh bahwa koefisien muai luas sama dengan 2 kali koefisien muai panjang.
Untuk menentukan pertambahan luas dan volume akhir digunakan persamaan sebagai berikut :
Pengertian Pemuaian
Pemuaian adalah bertambahnya ukuran suatu benda karena pengaruh perubahan suhu atau bertambahnya ukuran suatu benda karena menerima kalor.
Pemuaian terjadi pada 3 zat yaitu pemuaian pada zat padat, pada zat cair, dan pada zat gas.
Pemuaian pada zat gas ada 3 jenis yaitu pemuaian panjang (untuk satu demensi), pemuaian luas (dua dimensi) dan pemuaian volume (untuk tiga dimensi). Sedangkan pada zat cair dan zat gas hanya terjadi pemuaian volume saja, khusus pada zat gas biasanya diambil nilai koofisien muai volumenya sama dengan 1/273.
Pemuaian panjang
adalah bertambahnya ukuran panjang suatu benda karena menerima kalor. Pada pemuaian panjang nilai lebar dan tebal sangat kecil dibandingkan dengan nilai panjang benda tersebut. Sehingga lebar dan tebal dianggap tidak ada. Contoh benda yang hanya mengalami pemuaian panjang saja adalah kawat kecil yang panjang sekali.
Pemuaian panjang suatu benda dipengaruhi oleh beberapa faktor yaitu panjang awal benda, koefisien muai panjang dan besar perubahan suhu. Koefisien muai panjang suatu benda sendiri dipengaruhi oleh jenis benda atau jenis bahan.
Secara matematis persamaan yang digunakan untuk menentukan pertambahan panjang benda setelah dipanaskan pada suhu tertentu adalah
Bila ingin menentukan panjang akhir setelah pemanasan maka digunakan persamaan sebagai berikut :
Yang perlu diperhatikan adalah didala rumus tersebut banyak sekali menggunakan lambang sehingga menyulitkan dalam menghapal. Disarankan untuk sering menggunakan rumus tersebut dalam mengerjakan soal dan tidak perlu dihapal.
Pemuaian luas
adalah pertambahan ukuran luas suatu benda karena menerima kalor. Pemuaian luas terjadi pada benda yang mempunyai ukuran panjang dan lebar, sedangkan tebalnya sangat kecil dan dianggap tidak ada. Contoh benda yang mempunyai pemuaian luas adalah lempeng besi yang lebar sekali dan tipis.
Seperti halnya pada pemuian luas faktor yang mempengaruhi pemuaian luas adalah luas awal, koefisien muai luas, dan perubahan suhu. Karena sebenarnya pemuaian luas itu merupakan pemuian panjang yang ditinjau dari dua dimensi maka koefisien muai luas besarnya sama dengan 2 kali koefisien muai panjang. Pada perguruan tinggi nanti akan dibahas bagaimana perumusan sehingga diperoleh bahwa koefisien muai luas sama dengan 2 kali koefisien muai panjang.
Untuk menentukan pertambahan luas dan volume akhir digunakan persamaan sebagai berikut :
Pemuaian volume
adalah pertambahan ukuran volume suatu benda karena menerima kalor. Pemuaian volume terjadi benda yang mempunyai ukuran panjang, lebar dan tebal. Contoh benda yang mempunyai pemuaian volume adalah kubus, air dan udara. Volume merupakan bentuk lain dari panjang dalam 3 dimensi karena itu untuk menentukan koefisien muai volume sama dengan 3 kali koefisien muai panjang. Sebagaimana yang telah dijelskan diatas bahwa khusus gas koefisien muai volumenya sama dengan 1/273
Persamaan yang digunakan untuk menentukan pertambahan volume dan volume akhir suatu benda tidak jauh beda pada perumusan sebelum. Hanya saja beda pada lambangnya saja. Perumusannya adalah
KALOR
Pengertian Kalor
Kalor didefinisikan sebagai energi panas yang dimiliki oleh suatu zat. Secara umum untuk mendeteksi adanya kalor yang dimiliki oleh suatu benda yaitu dengan mengukur suhu benda tersebut. Jika suhunya tinggi maka kalor yang dikandung oleh benda sangat besar, begitu juga sebaliknya jika suhunya rendah maka kalor yang dikandung sedikit.
Dari hasil percobaan yang sering dilakukan besar kecilnya kalor yang dibutuhkan suatu benda(zat) bergantung pada 3 faktor
1. massa zat
2. jenis zat (kalor jenis)
3. perubahan suhu
Sehingga secara matematis dapat dirumuskan :
Q = m.c.(t2 - t1)
Dimana :
Q adalah kalor yang dibutuhkan (J)
m adalah massa benda (kg)
c adalah kalor jenis (J/kgC)
(t2-t1) adalah perubahan suhu (C)
Kalor dapat dibagi menjadi 2 jenis
* Kalor yang digunakan untuk menaikkan suhu
* Kalor yang digunakan untuk mengubah wujud (kalor laten), persamaan yang digunakan dalam kalor laten ada dua macam Q = m.U dan Q = m.L. Dengan U adalah kalor uap (J/kg) dan L adalah kalor lebur (J/kg)
Dalam pembahasan kalor ada dua kosep yang hampir sama tetapi berbeda yaitu kapasitas kalor (H) dan kalor jenis (c)
Kapasitas kalor adalah banyaknya kalor yang diperlukan untuk menaikkan suhu benda sebesar 1 derajat celcius.
H = Q/(t2-t1)
Kalor jenis adalah banyaknya kalor yang dibutuhkan untuk menaikkan suhu 1 kg zat sebesar 1 derajat celcius. Alat yang digunakan untuk menentukan besar kalor jenis adalah kalorimeter.
c = Q/m.(t2-t1)
Bila kedua persamaan tersebut dihubungkan maka terbentuk persamaan baru
H = m.c
Analisis grafik perubahan wujud pada es yang dipanaskan sampai menjadi uap. Dalam grafik ini dapat dilihat semua persamaan kalor digunakan.
Grafik Perubahan Wujud Es
Keterangan :
Pada Q1 es mendapat kalor dan digunakan menaikkan suhu es, setelah suhu sampai pada 0 C kalor yang diterima digunakan untuk melebur (Q2), setelah semua menjadi air barulah terjadi kenaikan suhu air (Q3), setelah suhunya mencapai suhu 100 C maka kalor yang diterima digunakan untuk berubah wujud menjadi uap (Q4), kemudian setelah berubah menjadi uap semua maka akan kembali terjadi kenaikan suhu kembali (Q5)
Untuk mencoba kemampuan silakan kkerjakan latihan soal dengan cara klik disini.
Hubungan antara kalor dengan energi listrik
Kalor merupakan bentuk energi maka dapat berubah dari satu bentuk kebentuk yang lain. Berdasarkan Hukum Kekekalan Energi maka energi listrik dapat berubah menjadi energi kalor dan juga sebaliknya energi kalor dapat berubah menjadi energi listrik. Dalam pembahasan ini hanya akan diulas tentang hubungan energi listrik dengan energi kalor. Alat yang digunakan mengubah energi listrik menjadi energi kalor adalah ketel listrik, pemanas listrik, dll.
Besarnya energi listrik yang diubah atau diserap sama dengan besar kalor yang dihasilkan. Sehingga secara matematis dapat dirumuskan.
W = Q
Untuk menghitung energi listrik digunakan persamaan sebagai berikut :
W = P.t
Keterangan :
W adalah energi listrik (J)
P adalah daya listrik (W)
t adalah waktu yang diperlukan (s)
Bila rumus kalor yang digunakan adalah Q = m.c.(t2 - t1) maka diperoleh persamaan ;
P.t = m.c.(t2 - t1)
Yang perlu diperhatikan adalah rumus Q disini dapat berubah-ubah sesuai dengan soal.
Asas Black
Menurut asas Black apabila ada dua benda yang suhunya berbeda kemudian disatukan atau dicampur maka akan terjadi aliran kalor dari benda yang bersuhu tinggi menuju benda yang bersuhu rendah. Aliran ini akan berhenti sampai terjadi keseimbangan termal (suhu kedua benda sama). Secara matematis dapat dirumuskan :
Q lepas = Q terima
Yang melepas kalor adalah benda yang suhunya tinggi dan yang menerima kalor adalah benda yang bersuhu rendah. Bila persamaan tersebut dijabarkan maka akan diperoleh :
Q lepas = Q terima
m1.c1.(t1 - ta) = m2.c2.(ta-t2)
Catatan yang harus selalu diingat jika menggunakan asasa Black adalah pada benda yang bersuhu tinggi digunakan (t1 - ta) dan untuk benda yang bersuhu rendah digunakan (ta-t2). Dan rumus kalor yang digunakan tidak selalu yang ada diatas bergantung pada soal yang dikerjakan.
Kalor didefinisikan sebagai energi panas yang dimiliki oleh suatu zat. Secara umum untuk mendeteksi adanya kalor yang dimiliki oleh suatu benda yaitu dengan mengukur suhu benda tersebut. Jika suhunya tinggi maka kalor yang dikandung oleh benda sangat besar, begitu juga sebaliknya jika suhunya rendah maka kalor yang dikandung sedikit.
Dari hasil percobaan yang sering dilakukan besar kecilnya kalor yang dibutuhkan suatu benda(zat) bergantung pada 3 faktor
1. massa zat
2. jenis zat (kalor jenis)
3. perubahan suhu
Sehingga secara matematis dapat dirumuskan :
Q = m.c.(t2 - t1)
Dimana :
Q adalah kalor yang dibutuhkan (J)
m adalah massa benda (kg)
c adalah kalor jenis (J/kgC)
(t2-t1) adalah perubahan suhu (C)
Kalor dapat dibagi menjadi 2 jenis
* Kalor yang digunakan untuk menaikkan suhu
* Kalor yang digunakan untuk mengubah wujud (kalor laten), persamaan yang digunakan dalam kalor laten ada dua macam Q = m.U dan Q = m.L. Dengan U adalah kalor uap (J/kg) dan L adalah kalor lebur (J/kg)
Dalam pembahasan kalor ada dua kosep yang hampir sama tetapi berbeda yaitu kapasitas kalor (H) dan kalor jenis (c)
Kapasitas kalor adalah banyaknya kalor yang diperlukan untuk menaikkan suhu benda sebesar 1 derajat celcius.
H = Q/(t2-t1)
Kalor jenis adalah banyaknya kalor yang dibutuhkan untuk menaikkan suhu 1 kg zat sebesar 1 derajat celcius. Alat yang digunakan untuk menentukan besar kalor jenis adalah kalorimeter.
c = Q/m.(t2-t1)
Bila kedua persamaan tersebut dihubungkan maka terbentuk persamaan baru
H = m.c
Analisis grafik perubahan wujud pada es yang dipanaskan sampai menjadi uap. Dalam grafik ini dapat dilihat semua persamaan kalor digunakan.
Grafik Perubahan Wujud Es
Keterangan :
Pada Q1 es mendapat kalor dan digunakan menaikkan suhu es, setelah suhu sampai pada 0 C kalor yang diterima digunakan untuk melebur (Q2), setelah semua menjadi air barulah terjadi kenaikan suhu air (Q3), setelah suhunya mencapai suhu 100 C maka kalor yang diterima digunakan untuk berubah wujud menjadi uap (Q4), kemudian setelah berubah menjadi uap semua maka akan kembali terjadi kenaikan suhu kembali (Q5)
Untuk mencoba kemampuan silakan kkerjakan latihan soal dengan cara klik disini.
Hubungan antara kalor dengan energi listrik
Kalor merupakan bentuk energi maka dapat berubah dari satu bentuk kebentuk yang lain. Berdasarkan Hukum Kekekalan Energi maka energi listrik dapat berubah menjadi energi kalor dan juga sebaliknya energi kalor dapat berubah menjadi energi listrik. Dalam pembahasan ini hanya akan diulas tentang hubungan energi listrik dengan energi kalor. Alat yang digunakan mengubah energi listrik menjadi energi kalor adalah ketel listrik, pemanas listrik, dll.
Besarnya energi listrik yang diubah atau diserap sama dengan besar kalor yang dihasilkan. Sehingga secara matematis dapat dirumuskan.
W = Q
Untuk menghitung energi listrik digunakan persamaan sebagai berikut :
W = P.t
Keterangan :
W adalah energi listrik (J)
P adalah daya listrik (W)
t adalah waktu yang diperlukan (s)
Bila rumus kalor yang digunakan adalah Q = m.c.(t2 - t1) maka diperoleh persamaan ;
P.t = m.c.(t2 - t1)
Yang perlu diperhatikan adalah rumus Q disini dapat berubah-ubah sesuai dengan soal.
Asas Black
Menurut asas Black apabila ada dua benda yang suhunya berbeda kemudian disatukan atau dicampur maka akan terjadi aliran kalor dari benda yang bersuhu tinggi menuju benda yang bersuhu rendah. Aliran ini akan berhenti sampai terjadi keseimbangan termal (suhu kedua benda sama). Secara matematis dapat dirumuskan :
Q lepas = Q terima
Yang melepas kalor adalah benda yang suhunya tinggi dan yang menerima kalor adalah benda yang bersuhu rendah. Bila persamaan tersebut dijabarkan maka akan diperoleh :
Q lepas = Q terima
m1.c1.(t1 - ta) = m2.c2.(ta-t2)
Catatan yang harus selalu diingat jika menggunakan asasa Black adalah pada benda yang bersuhu tinggi digunakan (t1 - ta) dan untuk benda yang bersuhu rendah digunakan (ta-t2). Dan rumus kalor yang digunakan tidak selalu yang ada diatas bergantung pada soal yang dikerjakan.
Rabu, 17 Desember 2008
Logaritma
-Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
-Rumus dasar logaritma:
bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis)
Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c
-Rumus
* xlog x = 1
* x^nlog xm = m/n
* blog x + blog y = blog (x.y)
* blog x - blog y = blog (x:y)
* (alog b)(blog c) = alog c
* b log xn = n.blog x
* b log x = klog x : klog b
-Kegunaan logaritma
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.
-Penghitungan yang lebih mudah
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::
Penghitungan dengan angka Penghitungan dengan eksponen Identitas Logaritma
\!\, a b \!\, A + B \!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b)
\!\frac{a}{b} \!\, A - B \!\, \log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)
\!\, a ^ b \!\, A b \!\, \log(a ^ b) = b \log(a)
\!\, \sqrt{a} \!\, \frac{A}{b} \!\, \log(\sqrt{a}) = \frac{\log(a)}{b}
Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut
-Rumus dasar logaritma:
bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis)
Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c
-Rumus
* xlog x = 1
* x^nlog xm = m/n
* blog x + blog y = blog (x.y)
* blog x - blog y = blog (x:y)
* (alog b)(blog c) = alog c
* b log xn = n.blog x
* b log x = klog x : klog b
-Kegunaan logaritma
Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari integral. Dalam persamaan bn = x, b dapat dicari dengan pengakaran, n dengan logaritma, dan x dengan fungsi eksponensial.
-Penghitungan yang lebih mudah
Logaritma memindahkan fokus penghitungan dari bilangan normal ke pangkat-pangkat (eksponen). Bila basis logaritmanya sama, maka beberapa jenis penghitungan menjadi lebih mudah menggunakan logaritma::
Penghitungan dengan angka Penghitungan dengan eksponen Identitas Logaritma
\!\, a b \!\, A + B \!\, \log(a b) = \log(a) + \log(b)
\!\frac{a}{b} \!\, A - B \!\, \log(\frac{a}{b}) = \log(a) - \log(b)
\!\, a ^ b \!\, A b \!\, \log(a ^ b) = b \log(a)
\!\, \sqrt{a} \!\, \frac{A}{b} \!\, \log(\sqrt{a}) = \frac{\log(a)}{b}
Sifat-sifat diatas membuat penghitungan dengan eksponen menjadi lebih mudah, dan penggunaan logaritma sangat penting, terutama sebelum tersedianya kalkulator sebagai hasil perkembangan teknologi modern.
Untuk mengkali dua angka, yang diperlukan adalah melihat logaritma masing-masing angka dalam tabel, menjumlahkannya, dan melihat antilog jumlah tersebut dalam tabel. Untuk mengitung pangkat atau akar dari sebuah bilangan, logaritma bilangan tersebut dapat dilihat di tabel, lalu hanya mengkali atau membagi dengan radix pangkat atau akar tersebut
SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT
A. Sistem persamaan linier dan linear dengan dua variable
1. Persamaan Linear dengan Dua Variabel serta penyelesaiannya
Bentuk umum persamaan linear dengan dua variable dalam x dan y dapat dituliskan sebagai berikut :
Ax + by = c, dengan a, b dan c bilangan riil
Contohnya :
a) 2x + 3y = 12
b) 5x – 2y = 7
c) X + y = -6
Bila x = p dan y = q, sedemikian hingga persamaan ax + by = c, menjadi ap + bq = c, merupakan pernyataan yang bernilai benar, maka (p, q) disebut penyelesaian dari ax + by = c
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear x + y = 4, untuk x dan y bilangan cacah !
Jawab :
X + y = 4
X = 0, maka y = 4
X = 1, maka y = 3
X = 2, maka y = 2
X = 3, maka y = 1
X = 4, maka y = 0
X = 5, maka y = -1 (tidak memenuhi)
Pasangan berurutan (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0), merupakan penyelesaian, sedangkan (5,-1) bukan penyelesaian karena y = -1 bukan bilangan cacah. Jadi himpunan penyelesaian dari x + y = 4 adalah , secara geometris, grafik himpunan penyelesaian dari persamaan linear x + y = 4 dengan x dan y bilangan cacah adalah koordinat titik-titik pada bilangan cartesius (gambar 3.2). sedangkan bila x dan y bilangan riil, maka grafik himpunan penyelesaiannya berupa garis lurus. (gambar 3.3)
2. Sistem persamaan linear dan linear dengan dua variable
Bentuk umum system persamaan linear dan linear dengan dua
(GAMBAR 3.2)
(GAMBAR 3.3)
variable dalam x dan y adalah :
x + y =
x + y =
Dengan , , , , dan bilangan riil
Pada persamaan pertama dan boleh nol tapi tidak boleh keduanya, begitu juga untuk dan pada persamaan kedua. Grafik dari dua persamaan linear berupa dua buah garis lurus dan titik potongnya merupakan himpunan penyelesaian, tapi tak selamanya 2 garis berpotongan, bias saja sejajar bahkan berimpit, oleh karenanya ada tiga (3) kemungkinan himpunan penyelesaian system persamaan linear dan linear dengan dua varabel sebagai berikut :
a) Jika , maka hanya mempunyai satu titik potong yang merupakan himpunan penyelesaiaannya
b) Jika , maka kedua garis sejajar/ tidak mempunyai himpunan penyelesaian
c) Jika , maka kedua garis berimpit/mempunyai titik persekutuan yang tak berhingga sehingga anggota himpunan penyelesaiannya tak berhingga
Cara menentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear dan linear dengan dua variabel adalah sebagai berikut :
a) Metode Eliminasi
Mengeliminasi artinya menghilangkan sementara / menyembunyikan salah satu variabel menjadi hanya satu variabel dan dalam system persamaannya dapat diselesaikan. Cara menghilangkan sementara salah satu variabel adalah dengan menyamakan koefisien dari variabel yang akan dihilangkan kemudian dikurangkan. Apabila tanda koefisien sama atau dijumlahkan, apabila tanda koefisien berlawanan. Untuk menyamakan koefisien, masing-masingpersamaan linearnya dikalikan dengan bilangan sesuai dengan kebutuhannya.
Contoh : tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear dan linear berikut dengan metode eliminasi
2x + y = 4
6x + 3y = 18
Jawab :
Kita akan menghilangkan sementara variabel y, sebelumnya kita samakan koefisiennya.
Persamaan linear ini tidak me4mpunyai anggota himpunan penyelesaian. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah atau O
b) Metode Subsitusi
Metode subsitusi dilakukan dengan menggunkan langkah-langkah sebagai berikut :
1) Mengubah salah satu variabel menjadi fungsi terhadap variabel lainnya pada salah satu persamaan
2) Variabel yang sudah menjadi fungsi disubsitusikan ke persamaan lainnya
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari dengan menggunakan metode subsitusi?
Jawab :
Subsitusikan kepersamaan 3x + 5y = 8, maka
Jadi :
Subsitusikan ke y =
y =
y =
y = 4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
c) Metode gabungan eliminasi dan Subsitusi
Metode ini dilakukan dengan cara mengeliminasi salah satu variabel kemudian dilanjutkan dengan mensubsitusikan hasil dari eliminasi tersebut :
Contoh : tentuka himpunan penyelesaian dari :
Selesaikan dengan metode gabungan eliminasi dan subsitusi
Jawab : misalkan dan
-4q = -1
q =
subsitusikan kepersamaan………………….(1)
Karena , maka x = 2, dan
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
B. Sistem Persamaan Linear dan Linear dengan Tiga(3) Variabel
Bentuk umum dari persamaan linear dan linear dengan 3 variabel dalam x,y, dan z adalah sebagai berikut :
, , , , , , , , , bilangan riil. Seperti pada system persamaab linear dan linear dengan dua variabel, himpunan penyelesaian, himpunan penyelesaian dari system persamaan linear dan linear dengan 3 variabel dapat diperoleh dengan menggunkan metode :
a. Eliminasi
b. Subsitusi
c. Gabungan Eliminasi dan Subsitusi
Contoh :
a. Tentukan Himpunan penyelesaian dari system persamaan linear
Dengan metode Eliminasi.
b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear Dengan metode Subsitusi
c. Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear Dengan metoda gabungan eliminasi dan subsitusi
Jawab :
a. Eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2)
3x + 4 y = 5………… (4), Eliminasi Variabel z dari persamaan (1) dan (3)
7 x + 5 y = 16…………….(5)
Eliminasi variabel y dari persamaan (4) dan (5)
3x + 4y = 5
7x + 5 y = 16
-13x = -39
X = 3
Eliminasi variabel x dari persamaan (4) dan (5)
13y = -13
y = -1
Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (2)
y – 3z = -7………………………(6)
Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (3)
11y – 7z = -25…………………(7)
Eliminasi variabel y dari persamaan (6) dan (7)
-26z = -52
z = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
b.
Dari persamaan (1)
Dari persamaan (4) subsitusikan ke persamaan (2)
Dari persamaan (4) subsitusikan ke persamaan (3)
Dari persamaan (5) subsitusikan ke persamaan (6)
Nilai z = 5 subsitusikan ke persamaan (5)
Nilai z=5 dan y=2 Subsitusikan kepersamaan (4)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
c.
Eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2)
13x – 7y = 56……………………(4)
Eliminasi variabel z dari persamaan (2) dan (3)
21x – 7y = 56………………(5)
Eliminasi variabel y dari persamaan (4) dan (5)
448x = 1344
x = 3
Nilai x=3, subsitusikan ke persamaan (4)
Nilai x=3 dan y = 1, subsitusikan ke persamaan (1)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
C. Sitem Persamaan Linear dan Kuadrat
Bentuk umum system persamaan linear dan kuadrat sebagai berikut
y = ax + b ………………….bentuk linear
y = …………...bentuk kuadrat
dengan a, b, p, q, r, x dan y adalah bilangan riil.
Grafik dari persamaan linear dan fungsi kuadrat berturut-turut berupa garis lurus dan parabola. Titik potong garis dan parabola merupakan penyelesaian dari system persamaan linear dan kuadrat tersebut. Subsitusikan y = ax + b ke y = .
= ax + b
Adalah bentuk persamaan kuadrat dengan diskriminan D =
Jadi ada 3 kemungkinan himpunan penyelesaiannya, yaitu :
1) Jika D>0, maka garis dan parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
2) JIka D = 0, maka garis dan parabola berpotongan disatu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
3) Jika D<0,> 0, maka kedua parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
2) Jika D = 0, maka kedua parabola berpotongan disatu titik (bersinggungan) yang merupakan himpunan penyelesaiaannya
3) Jika D < a =" p" a =" p," b =" q," a =" p," b =" q," c =" r," x =" 2" 3 =" 5" y =" dan" y =" ," y =" dan" y =" 5" 4y =" -7" y =" xy………………………………………(1)" 2y =" 2xy……………………………………...(2)" b =" 3000……………………….(1)" a =" 2B" 8y =" -12…………….(4)" x =" 28" x =" 10,96………………(5)" d =" 0"> 0
7.
Eliminasi (2) dan (3)
19 x = 51
x =
x = 2,7………………………(4)
subsitusi (4) ke (1)
2x + y = 7
2(2,7)+y = 7
5,4+y = 7
y = 1,6………………………………………..(5)
subsitusikan (4) ke (2)
3x – 2z = 13
3(2,7) – 2z = 13
8,1 – 2z =13
-2z = 13 – 8,1
z =
z = -2,45
missal : p = x =2,7
q = y = 1,6
r = z = -2,45
8.
Eliminasi (1) dan (2)
- 13 y = 26
y = -2………………..(3)
subsitusi (3) ke (2)
x + 4 (-2) = -7
x – 8 = -7
x = 1
Himpunan penyelesaiannya adalah
9. Misal bilangan pertama = a
Misal bilangan kedua = b
Missal bilangan ketiga = c
Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (4)
Subsitusikan nilai c dan persamaan (2) ke persamaan (1)
Subsitusikan nilai b pada persamaan (2)
Bilangan-bilangan itu adalah
10. Misalnya usia Ibu x tahun dan usia dona y tahun
Eliminasi (1) dan (2)
4y = -28
y = 7………………………………………..(3)
subsitusikan persamaan (3) ke persamaan (1)
Jadi usia Ibu adalah 32 tahun dan usia Dona adalah 7 tahun
1. Persamaan Linear dengan Dua Variabel serta penyelesaiannya
Bentuk umum persamaan linear dengan dua variable dalam x dan y dapat dituliskan sebagai berikut :
Ax + by = c, dengan a, b dan c bilangan riil
Contohnya :
a) 2x + 3y = 12
b) 5x – 2y = 7
c) X + y = -6
Bila x = p dan y = q, sedemikian hingga persamaan ax + by = c, menjadi ap + bq = c, merupakan pernyataan yang bernilai benar, maka (p, q) disebut penyelesaian dari ax + by = c
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear x + y = 4, untuk x dan y bilangan cacah !
Jawab :
X + y = 4
X = 0, maka y = 4
X = 1, maka y = 3
X = 2, maka y = 2
X = 3, maka y = 1
X = 4, maka y = 0
X = 5, maka y = -1 (tidak memenuhi)
Pasangan berurutan (0,4), (1,3), (2,2), (3,1), (4,0), merupakan penyelesaian, sedangkan (5,-1) bukan penyelesaian karena y = -1 bukan bilangan cacah. Jadi himpunan penyelesaian dari x + y = 4 adalah , secara geometris, grafik himpunan penyelesaian dari persamaan linear x + y = 4 dengan x dan y bilangan cacah adalah koordinat titik-titik pada bilangan cartesius (gambar 3.2). sedangkan bila x dan y bilangan riil, maka grafik himpunan penyelesaiannya berupa garis lurus. (gambar 3.3)
2. Sistem persamaan linear dan linear dengan dua variable
Bentuk umum system persamaan linear dan linear dengan dua
(GAMBAR 3.2)
(GAMBAR 3.3)
variable dalam x dan y adalah :
x + y =
x + y =
Dengan , , , , dan bilangan riil
Pada persamaan pertama dan boleh nol tapi tidak boleh keduanya, begitu juga untuk dan pada persamaan kedua. Grafik dari dua persamaan linear berupa dua buah garis lurus dan titik potongnya merupakan himpunan penyelesaian, tapi tak selamanya 2 garis berpotongan, bias saja sejajar bahkan berimpit, oleh karenanya ada tiga (3) kemungkinan himpunan penyelesaian system persamaan linear dan linear dengan dua varabel sebagai berikut :
a) Jika , maka hanya mempunyai satu titik potong yang merupakan himpunan penyelesaiaannya
b) Jika , maka kedua garis sejajar/ tidak mempunyai himpunan penyelesaian
c) Jika , maka kedua garis berimpit/mempunyai titik persekutuan yang tak berhingga sehingga anggota himpunan penyelesaiannya tak berhingga
Cara menentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear dan linear dengan dua variabel adalah sebagai berikut :
a) Metode Eliminasi
Mengeliminasi artinya menghilangkan sementara / menyembunyikan salah satu variabel menjadi hanya satu variabel dan dalam system persamaannya dapat diselesaikan. Cara menghilangkan sementara salah satu variabel adalah dengan menyamakan koefisien dari variabel yang akan dihilangkan kemudian dikurangkan. Apabila tanda koefisien sama atau dijumlahkan, apabila tanda koefisien berlawanan. Untuk menyamakan koefisien, masing-masingpersamaan linearnya dikalikan dengan bilangan sesuai dengan kebutuhannya.
Contoh : tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear dan linear berikut dengan metode eliminasi
2x + y = 4
6x + 3y = 18
Jawab :
Kita akan menghilangkan sementara variabel y, sebelumnya kita samakan koefisiennya.
Persamaan linear ini tidak me4mpunyai anggota himpunan penyelesaian. Jadi himpunan penyelesaiannya adalah atau O
b) Metode Subsitusi
Metode subsitusi dilakukan dengan menggunkan langkah-langkah sebagai berikut :
1) Mengubah salah satu variabel menjadi fungsi terhadap variabel lainnya pada salah satu persamaan
2) Variabel yang sudah menjadi fungsi disubsitusikan ke persamaan lainnya
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari dengan menggunakan metode subsitusi?
Jawab :
Subsitusikan kepersamaan 3x + 5y = 8, maka
Jadi :
Subsitusikan ke y =
y =
y =
y = 4
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
c) Metode gabungan eliminasi dan Subsitusi
Metode ini dilakukan dengan cara mengeliminasi salah satu variabel kemudian dilanjutkan dengan mensubsitusikan hasil dari eliminasi tersebut :
Contoh : tentuka himpunan penyelesaian dari :
Selesaikan dengan metode gabungan eliminasi dan subsitusi
Jawab : misalkan dan
-4q = -1
q =
subsitusikan kepersamaan………………….(1)
Karena , maka x = 2, dan
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
B. Sistem Persamaan Linear dan Linear dengan Tiga(3) Variabel
Bentuk umum dari persamaan linear dan linear dengan 3 variabel dalam x,y, dan z adalah sebagai berikut :
, , , , , , , , , bilangan riil. Seperti pada system persamaab linear dan linear dengan dua variabel, himpunan penyelesaian, himpunan penyelesaian dari system persamaan linear dan linear dengan 3 variabel dapat diperoleh dengan menggunkan metode :
a. Eliminasi
b. Subsitusi
c. Gabungan Eliminasi dan Subsitusi
Contoh :
a. Tentukan Himpunan penyelesaian dari system persamaan linear
Dengan metode Eliminasi.
b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear Dengan metode Subsitusi
c. Tentukan himpunan penyelesaian dari system persamaan linear Dengan metoda gabungan eliminasi dan subsitusi
Jawab :
a. Eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2)
3x + 4 y = 5………… (4), Eliminasi Variabel z dari persamaan (1) dan (3)
7 x + 5 y = 16…………….(5)
Eliminasi variabel y dari persamaan (4) dan (5)
3x + 4y = 5
7x + 5 y = 16
-13x = -39
X = 3
Eliminasi variabel x dari persamaan (4) dan (5)
13y = -13
y = -1
Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (2)
y – 3z = -7………………………(6)
Eliminasi variabel x dari persamaan (1) dan (3)
11y – 7z = -25…………………(7)
Eliminasi variabel y dari persamaan (6) dan (7)
-26z = -52
z = 2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
b.
Dari persamaan (1)
Dari persamaan (4) subsitusikan ke persamaan (2)
Dari persamaan (4) subsitusikan ke persamaan (3)
Dari persamaan (5) subsitusikan ke persamaan (6)
Nilai z = 5 subsitusikan ke persamaan (5)
Nilai z=5 dan y=2 Subsitusikan kepersamaan (4)
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah
c.
Eliminasi variabel z dari persamaan (1) dan (2)
13x – 7y = 56……………………(4)
Eliminasi variabel z dari persamaan (2) dan (3)
21x – 7y = 56………………(5)
Eliminasi variabel y dari persamaan (4) dan (5)
448x = 1344
x = 3
Nilai x=3, subsitusikan ke persamaan (4)
Nilai x=3 dan y = 1, subsitusikan ke persamaan (1)
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
C. Sitem Persamaan Linear dan Kuadrat
Bentuk umum system persamaan linear dan kuadrat sebagai berikut
y = ax + b ………………….bentuk linear
y = …………...bentuk kuadrat
dengan a, b, p, q, r, x dan y adalah bilangan riil.
Grafik dari persamaan linear dan fungsi kuadrat berturut-turut berupa garis lurus dan parabola. Titik potong garis dan parabola merupakan penyelesaian dari system persamaan linear dan kuadrat tersebut. Subsitusikan y = ax + b ke y = .
= ax + b
Adalah bentuk persamaan kuadrat dengan diskriminan D =
Jadi ada 3 kemungkinan himpunan penyelesaiannya, yaitu :
1) Jika D>0, maka garis dan parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
2) JIka D = 0, maka garis dan parabola berpotongan disatu titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
3) Jika D<0,> 0, maka kedua parabola berpotongan di dua titik yang merupakan himpunan penyelesaiannya
2) Jika D = 0, maka kedua parabola berpotongan disatu titik (bersinggungan) yang merupakan himpunan penyelesaiaannya
3) Jika D < a =" p" a =" p," b =" q," a =" p," b =" q," c =" r," x =" 2" 3 =" 5" y =" dan" y =" ," y =" dan" y =" 5" 4y =" -7" y =" xy………………………………………(1)" 2y =" 2xy……………………………………...(2)" b =" 3000……………………….(1)" a =" 2B" 8y =" -12…………….(4)" x =" 28" x =" 10,96………………(5)" d =" 0"> 0
7.
Eliminasi (2) dan (3)
19 x = 51
x =
x = 2,7………………………(4)
subsitusi (4) ke (1)
2x + y = 7
2(2,7)+y = 7
5,4+y = 7
y = 1,6………………………………………..(5)
subsitusikan (4) ke (2)
3x – 2z = 13
3(2,7) – 2z = 13
8,1 – 2z =13
-2z = 13 – 8,1
z =
z = -2,45
missal : p = x =2,7
q = y = 1,6
r = z = -2,45
8.
Eliminasi (1) dan (2)
- 13 y = 26
y = -2………………..(3)
subsitusi (3) ke (2)
x + 4 (-2) = -7
x – 8 = -7
x = 1
Himpunan penyelesaiannya adalah
9. Misal bilangan pertama = a
Misal bilangan kedua = b
Missal bilangan ketiga = c
Subsitusikan persamaan (2) ke persamaan (4)
Subsitusikan nilai c dan persamaan (2) ke persamaan (1)
Subsitusikan nilai b pada persamaan (2)
Bilangan-bilangan itu adalah
10. Misalnya usia Ibu x tahun dan usia dona y tahun
Eliminasi (1) dan (2)
4y = -28
y = 7………………………………………..(3)
subsitusikan persamaan (3) ke persamaan (1)
Jadi usia Ibu adalah 32 tahun dan usia Dona adalah 7 tahun
Langganan:
Postingan (Atom)